题目内容
已知点F（1，0），直线l：x=-1交x轴于点H，点M是l上的动点，过点M垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B为轨迹C上的两个动点，且
•
=-4，证明：直线AB必过一定点，并求出该点．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B为轨迹C上的两个动点，且
| OA |
| OB |
考点：轨迹方程
专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题意可得，点P到点F（1，0）的距离等于点P到直线l：x=-1的距离，由抛物线的定义可得点P的轨迹是抛物线，从而求得方程；
（2）设直线AB：y=kx+b，将直线AB代入到y2=4x中得k2x2+（2kb-4）x+b2=0，利用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可得到k，b的关系式，即可证明直线AB恒过定点．
（2）设直线AB：y=kx+b，将直线AB代入到y2=4x中得k2x2+（2kb-4）x+b2=0，利用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可得到k，b的关系式，即可证明直线AB恒过定点．
解答：
（1）解：连接PF，由于过点M垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，
则有|PF|=|PM|，即点P到点F（1，0）的距离等于点P到直线l：x=-1的距离，
由抛物线的定义可得，点P的轨迹C是：以F为焦点，以直线l：x=-1为准线的抛物线，
其方程为：y2=4x；
（2）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB代入到y2=4x中得，k2x2+（2kb-4）x+b2=0，
所以x1+x2=
，x1x2=
，
又
•
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）
=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=（1+k2）•
+kb•
+b2=-4，
解得，b=-2k，
则有直线AB：y=kx-2k，即有y=k（x-2）．
故直线AB必过一定点，且为（2，0）．
则有|PF|=|PM|，即点P到点F（1，0）的距离等于点P到直线l：x=-1的距离，
由抛物线的定义可得，点P的轨迹C是：以F为焦点，以直线l：x=-1为准线的抛物线，
其方程为：y2=4x；
（2）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB代入到y2=4x中得，k2x2+（2kb-4）x+b2=0，
所以x1+x2=
| 4-2kb |
| k2 |
| b2 |
| k2 |
又
| OA |
| OB |
=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=（1+k2）•
| b2 |
| k2 |
| 4-2kb |
| k2 |
解得，b=-2k，
则有直线AB：y=kx-2k，即有y=k（x-2）．
故直线AB必过一定点，且为（2，0）．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查转化思想与计算能力，熟记抛物线的定义是求解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
直线ax+by=ab（a＞0，b＜0）的倾斜角是（ ）
A、arctan(-
| ||||
B、arctan
| ||||
C、π-arctan
| ||||
D、
|
已知函数f（x）=
，若f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
|
| A、（-∞，0] |
| B、（-∞，0） |
| C、[0，1） |
| D、[0，+∞） |