Question

已知函数f（x）满足f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1
（1）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设log_ax=t，利用换元法求出f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，利用函数的单调性的定义，证明，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，然后判断函数的奇偶性，f（x）是奇函数，转化f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）为1-m＜m²-1即m²+m-2＞0求解即可．
（2）利用（1）转化f（2）-4≤0为

a

a2-1

(a2-a-2)≤4．求解即可．

解答： （本题12分）解；（1）设log_ax=t，则x=a^t，所以f(logax)=f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)
故f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)当a＞1时，a²-1＞0，设g（x）=a^x-a^-x，
设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
因为g(x1)-g(x2)=(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)=(ax1-ax2)+(

1

ax2

-

1

ax1

)=(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)
因为，x₁＜x₂且a＞1，故ax1＜ax2，所以g(

x

1

)＜g(x2)
所以，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，a²-1＜0，同理可证f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
又f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x)，所以f（x）是奇函数
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
因为f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，所以1-m＜m²-1即m²+m-2＞0解得m＜-2或m＞1
（2）由上，f（2）-4≤0即

a

a2-1

(a2-a-2)≤4．解得2-

3

≤a≤2+

3

点评：本题考查函数的恒成立，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．