Question

在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h²=

a2b2

a2+b2

，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：由平面上的直角三角形Rt△ABC中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．

解答： 解：如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，
连接AD交BC于E，
∵PA、PB、PC两两互相垂直，
∴PA⊥平面PBC，PE?平面PBC，
∴PA⊥PE，PA⊥BC，
∴AE⊥BC，PE⊥BC
∴PE²=

b2c2

b2+c2

，
∴h2=PD2=

PA2PE2

PA2+PE2

=

a2• b2c2 b2+c2

a2+ b2c2 b2+c2

=h=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2

．
故答案为：h=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2

．

点评：本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．