Question

已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，cos² θ＝3.

(1)求曲线C的方程；

(2)试探究曲线C上是否存在点P，使直线PA与PB的斜率k_PA·k_PB＝1.若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．

Answer 1

解析：(1)设M(x，y)，在△MAB中，|AB|＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得

因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，所以a＝2，c＝1.

所以曲线C的方程为＋＝1.

(2)由(1)知曲线C是椭圆，它的两个焦点坐标分别为A(－1，0)，B(1,0)，设P(x，y)是椭圆上的点，由k_PA·k_PB＝1，得＝1(x≠±1)，即x²－y²＝1(x≠±1)，这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P.由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点，即圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PA与PB的斜率k_PA·k_PB＝1.