Question

如图，

抛物线C₁：x²＝4y，C₂：x²＝－2py(p＞0)．点M(x₀，y₀)在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x₀＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；

(2)当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．

Answer 1

解析：(1)因为抛物线C₁：x²＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.

因为点M(1－，y₀)在切线MA及抛物线C₂上，于是

y₀＝－(2－)＋＝－，①

y₀＝－.②

由①②得p＝2.

(2)设N(x，y)，A，x₁≠x₂，

由N为线段AB中点知

x＝，③

y＝.④

切线MA、MB的方程为

y＝(x－x₁)＋，⑤

y＝(x－x₂)＋.⑥

由⑤⑥得MA，MB的交点M(x₀，y₀)的坐标为

x₀＝，y₀＝.

因为点M(x₀，y₀)在C₂上，即x＝－4y₀，

所以x₁x₂＝－.⑦

由③④⑦得x²＝y，x≠0.

当x₁＝x₂时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x²＝y.

因此AB中点N的轨迹方程为x²＝y.