Question

14．函数y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞0）的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 t=x+$\frac{1}{x}$，则y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{\;}+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{1}{t}$，结合基本不等式（或对勾函数的图象和性质），可得答案．

解答 解：令t=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），则由基本不等式可得：t≥2，
y=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{\;}+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{1}{t}$，t≥2，
故当t=2（即x=1）时，函数取最小值$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，基本不等式，对勾函数的图象和性质，难度中档．