Question

2．在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=b₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，b_n+1=b_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式取倒数，即可证得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求出等差数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，可得{a_n}的通项公式，代入b_n+1=b_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，得b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，然后利用累加法求数列{b_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+2$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）解：由（1）知，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，且$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，公差d=2，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$；
由b_n+1=b_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，得b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3（n≥2），
以上各式累加得：b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）=$\frac{（1+2n-3）（n-1）}{2}=（n-1）^{2}$，
∴${b}_{n}=（n-1）^{2}+1$（n≥2）．
验证b₁适合上式，
∴${b}_{n}=（n-1）^{2}+1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．