Question

9．求满足下列条件的直线方程：
（1）求经过直线l₁：x+3y-3=0和l₂：x-y+1=0的交点，且平行于直线2x+y-3=0的直线l的方程；
（2）已知直线l₁：2x+y-6=0和点A（1，-1），过点A作直线l与l₁相交于点B，且|AB|=5，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）联立直线l₁：x+3y-3=0和l₂：x-y+1=0的方程即可得到交点P的坐标．设经过点P且平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+m=0，把点P代入求出m即可；
（2）当直线斜率不存在时，符合题意；当直线有斜率时，设直线方程为y+1=k（x-1），联立方程组解交点，由距离公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）联立直线l₁：x+3y-3=0和l₂：x-y+1=0，解得x=1，y=2，得到交点P（1，2）．
设经过点P且平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+m=0，把点P代入可得2×1+2+m=0，解得m=-4．
∴要求的直线方程为：2x+y-4=0．
（2）当直线斜率不存在时，方程为x=1，与直线l：2x+y-6=0相交于B（1，4），
由距离公式可得|AB|=5，符合题意；
当直线有斜率时，设直线方程为y+1=k（x-1），
联立方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-1）}\\{2x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{k+7}{k+2}$，$\frac{4k-2}{k+2}$），
由距离公式可得（$\frac{k+7}{k+2}$-1）²+（$\frac{4k-2}{k+2}$+1）²=25，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴所求直线的方程为y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，即3x+4y+1=0
综上可得所求直线方程为：x=1或3x+4y+1=0．

点评 本题考查了两条直线的交点、平行直线的方程，考查直线的一般式方程的求解，涉及截距式和分类讨论的思想，属中档题．