Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l：y=-4x+1被抛物线C所截的两点AB的中点M的横坐标为-2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）试问：是否存在定点M₁，使过点M₁的直线与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径圆过原点？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设抛物线方程设为y²=ax（a＞0），直线l的方程为：y=-4x+1，联立方程组，得16x²-（8+a）x+1=0，由此利用韦达定理结合已知条件求出抛物线C的方程为y²=16x．
（2）设存在满足条件的定点M₁，设动直线方程为y=kx+b（k≠0），联立

y=kx+b y2=16x

，得ky²-16y+16b=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在异于原点的定点M₁（16，0）满足条件．

解答： 解：（1）∵抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，
∴设抛物线方程设为y²=ax（a＞0），①
直线l的方程为：y=-4x+1，②
将②代入①，整理得
16x²-（8+a）x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由题意知：y₁+y₂=-4（x₁+x₂）+2=-4×

8+a

16

+2=2×（-2）=-4，
解得a=16，
∴抛物线C的方程为y²=16x．
（2）设存在满足条件的定点M₁，
设动直线方程为y=kx+b（k≠0），
联立

y=kx+b y2=16x

，得ky²-16y+16b=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
y₃+y₄=

16

k

，y₃y₄=

16b

k

，
x₃x₄=

y3-b

k

•

y4-b

k

=

y3y4-b(y3+y4)+b2

k2

=

16b k - 16b k +b2

k2

=

b2

k2

，
∵以PQ为直径圆过原点，
∴x₃x₄+y₃y₄=

b2

k2

+

16b

k

=0，
解得b=-16k，
∴y=kx-16k=k（x-16），恒过定点（16，0），
当直线的斜率不存在时，设直线方程为x=x₀，
由题意解得x₀=16，
∴存在异于原点的定点M₁（16，0）满足条件．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．