Question

双曲线M：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A、B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为（　　）

• A、圆
• B、椭圆
• C、双曲线
• D、抛物线

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线方程算出A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），Q（x，y），由QA⊥PA且QB⊥PB，可得m²-a²=

n2y2

x2-a2

，结合点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点，化简得动点Q的轨迹方程，可得本题答案．

解答： 解：设P（m，n），Q（x，y）
∵双曲线M：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）实轴的两个顶点为A，B，
∴A（-a，0），B（a，0）
∴

QA

=（-x-a，-y），

PA

=（-m-a，-n）
∵QA⊥PA，∴（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得m+a=-

ny

x+a

…①
同理根据QB⊥PB，可得m-a=-

ny

x-a

…②
①×②，可得m²-a²=

n2y2

x2-a2

．…③
∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，整理得n²=

b2

a2

（m²-a²），
代入③化简得

x2

a2

-

y2

a4 b2

=1．
故选：C．

点评：本题着重考查了双曲线的简单几何性质、向量数量积的计算公式和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．