Question

14．设AB为过椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦点F任意一条弦，若M点在x轴上且直线MF为∠AMB的平分线，则称M为该椭圆的“右分点”．
（1）若椭圆E的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点到右准线的距离为3，求：
①椭圆E的方程；
②“右分点”M的坐标；
（2）猜想椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）“右分点”M的位置，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由题意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，从而求椭圆的方程；
②作出图象，设直线AB的方程为x-1=ky，从而联立化简可得（3k²+4）y²+6ky-9=0，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，0），则A′（x₁，-y₁），从而可得y₁+y₂=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$，由$\overrightarrow{A′B}$=（x₂-x₁，y₂+y₁），$\overrightarrow{A′M}$=（x₀-x₁，y₁），从而可得（x₂-x₁）y₁-（y₂+y₁）（x₀-x₁）=0，从而化简求得；
（2）可判断椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）“右分点”M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），利用②中的方法证明即可．

解答 解：（1）①由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，
解得，a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$；
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
②作图象如右图，
设直线AB的方程为x-1=ky，
联立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x-1=ky}\end{array}\right.$，
消x化简可得，（3k²+4）y²+6ky-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，0），则A′（x₁，-y₁），
y₁+y₂=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$，
∵$\overrightarrow{A′B}$=（x₂-x₁，y₂+y₁），$\overrightarrow{A′M}$=（x₀-x₁，y₁），
∴（x₂-x₁）y₁-（y₂+y₁）（x₀-x₁）=0，
即x₂y₁+x₁y₂=（y₂+y₁）x₀，
即（1+ky₂）y₁+（1+ky₁）y₂=（y₂+y₁）x₀，
即y₂+y₁+2ky₂y₁=（y₂+y₁）x₀，
即$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$+2k$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$x₀，
故x₀=4；
故M（4，0）；
（2）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）“右分点”M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），证明如下，
设直线AB的方程为x-c=ky，
联立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{x=ky+c}\end{array}\right.$，
消x化简可得，（b²k²+a²）y²+2kcb²y-b⁴=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（x₁，-y₁），
y₁+y₂=-$\frac{2kc{b}^{2}}{{b}^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{A′B}$=（x₂-x₁，y₂+y₁），$\overrightarrow{A′M}$=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x₁，y₁），
∴（x₂-x₁）y₁-（y₂+y₁）（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x₁）
=x₂y₁+x₁y₂-（y₂+y₁）$\frac{{a}^{2}}{c}$
=（c+ky₂）y₁+（c+ky₁）y₂-（y₂+y₁）$\frac{{a}^{2}}{c}$
=c（y₂+y₁）+2ky₂y₁-（y₂+y₁）$\frac{{a}^{2}}{c}$
=-c$\frac{2kc{b}^{2}}{{b}^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$-2k$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$+$\frac{2kc{b}^{2}}{{b}^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$$\frac{{a}^{2}}{c}$
=$\frac{-2k（{c}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}）}{{b}^{2}{k}^{2}+{a}^{2}}$=0，
故A′，B，M三点共线，
故直线MF为∠AMB的平分线；
故椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）“右分点”M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及直线与椭圆的位置关系的应用，关键在于化简．