Question

已知x，y满足约束条件

x-y+5≥0 x≤3 x+y+k≥0

，则z=2x+4y的最小值为-6，则3|x-1|+y的最大值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：利用线性规划的知识先求出k的值，然后利用绝对值的几何意义，结合分段函数的性质分别求出m的最大值，比较即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=-

1

2

x+

z

4

，
平移直线y=-

1

2

x+

z

4

，由图象可知当直线y=-

1

2

x+

z

4

经过点C时，
直线y=-

1

2

x+

z

4

的截距最小，此时z最小，
由

x=3 2x+4y=-6

，解得

x=3 y=-3

，
即C（3，-3），此时C也在直线x+y+k=0上，即k=0．
设m=3|x-1|+y，
则y=-3|x-1|+m=

-3x+3+m， x≥1 3x+m-3， x＜1

，
当x≥1时，平移直线y=-3x+3+m，此时当直线y=-3x+3+m经过点A时，截距最大，此时m最大，
当x＜1时，平移直线y=3x-3+m，此时当直线y=3x-3+m经过点B时，截距最大，此时m最大，
由

x=3 x-y+5=0

，解得

x=3 y=8

，即A（3，8），此时m=3×2+8=14，
由

x-y+5=0 x+y=0

，解得

x=- 5 2 y=- 5 2

，即B（-

5

2

，-

5

2

），此时m=3×

7

2

-

5

2

=8，
综上m的最大值为14，
故答案为：14

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义先求出k的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．