Question

数列{a_n}满足a₁=1，_an=

an-1

an-1+2

(n≥2)，则使得a_k＞

1

2009

的最大正整数k为（　　）

• A、5
• B、7
• C、8
• D、10

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：由数列递推式得到数列{

1

an

+1}构成以

1

a1

+1=2为首项，以2为公比的等比数列，由此求出数列{a_n}的通项公式后结合a_k＞

1

2009

求得最大正整数k的值．

解答： 解：由_an=

an-1

an-1+2

(n≥2)，得
a_na_n-1+2a_n=a_n-1，
即1+

2

an-1

=

1

an

，
∴

1

an

+1=2(

1

an-1

+1)（n≥2），
∴数列{

1

an

+1}构成以

1

a1

+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
则

1

an

+1=2n，
an=

1

2n-1

．
由a_k＞

1

2009

，得

1

2k-1

＞

1

2009

，
即2^k＜2010．
∵k为正整数，
∴k的最大值为10．
故选：D．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了不等式的解法，是中档题．