Question

（文）在等比数列{a_n}中，a₁＞0，n∈N^*，且a₅-a₄=8，又a₂、a₈的等比中项为16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₄a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求和

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=log₄2^n-1=

n-1

2

，得到S_n=

n(n-1)

4

．从而得到

1

Sn

=

4

n(n-1)

=

4

n-1

-

4

n

，由此利用裂项求和法能求出结果．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由题意可得a₅=16，又a₅-a₄=8，
则a₄=8，∴q=2．
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）∵b_n=log₄2^n-1=

n-1

2

，
由a₁=1，得b₁=0，数列{b_n}为等差数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(n-1)

4

．
∵

1

Sn

=

4

n(n-1)

=

4

n-1

-

4

n

，
∴

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=4(1-

1

n

)．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．