Question

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+2=0，曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数）．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（2，

π

2

），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：对第（1）问，先将点P的极坐标化为直角坐标，再代入直线l的方程中验证即可；
对第（2）问，根据C的参数方程，设Q（

3

cosα，sinα），然后利用点到直线的距离公式，写出距离d关于α的表达式，再探求d的最大值．

解答： 解析：（1）设点P的直角坐标为（x，y），
则x=ρcosα=2×cos

π

2

=0，y=ρsinα=2×sin

π

2

=2，
即得P（0，2）．
因为点P的直角坐标（0，2）满足直线l的方程x-y+2=0，所以点P在直线l上．
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为（

3

cosα，sinα），
从而点Q到直线l的距离为d=

| 3 cosα-sinα+2|

2

=

2cos(α+ π 6 )+2

2

，
由此知，当cos(α+

π

6

)=1时，d取得最大值2

2

．

点评：1．本题考查了极坐标化直角坐标及点与直线的位置关系，点到直线的距离公式，参数方程的应用等．
2．当然，本题也可以将点Q到直线l的距离转化为两平行直线间的距离，即先把曲线C的参数方程化为普通方程，再设与直线l平行的直线l'：x-y+m=0，联立C的方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，由△=0得m的值，最后利用两平行直线间的距离公式可得最大值．