Question

13．已知函数f（x）=mx-$\frac{m-1+2e}{x}$-lnx，m∈R函数g（x）=$\frac{1}{xcosθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性得得到cosθ-1≥0，求出θ的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出F（x）的最大值，从而确定m的范围即可．

解答 解（Ⅰ）∵g′（x）=$\frac{xcosθ-1}{{x}^{2}cosθ}$，又g（x）在[1，+∞）递增，
只需cosθ-1≥0，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ=0；
（Ⅱ）当m=0时，f（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx（x＞0），
f′（x）=$\frac{（2e-1）-x}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞2e-1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）_极大值=f（2e-1）=-1-ln（2e-1）；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m+2e}{x}$-2lnx，x∈[1，e]，
（1）m≤0时，∵x∈[1，e]，
∴F（x）=m（x-$\frac{1}{x}$）-$\frac{2e}{x}$-2lnx＜0，
∴在[1，e]上不存在x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），
（2）m＞0时，F′（x）=$\frac{{mx}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，∴mx²+m＞0，2e-2x≥0，
∴F′（x）＞0，F（x）递增，
∴F（x）_max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4＞0，
∴m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．