Question

1．一个三棱锥的底面是等边三角形，各侧棱长均为$\sqrt{3}$，那么该三棱锥的体积最大时，它的高为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC中，设底面边长为a，求出高，可得体积，换元，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：如图，三棱锥P-ABC中，设底面边长为a，
则高$h=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}-{{（\frac{2}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}a）}^2}}=\sqrt{3-\frac{1}{3}{a^2}}$．
所以它的体积$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•h=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}•\sqrt{3-\frac{1}{3}{a^2}}=\frac{1}{12}\sqrt{9{a^4}-{a^6}}$，
设y=-a⁶+9a⁴（a＞0），
令t=a²（t＞0）则y=-t³+9t²，y'=-3t²+18t=-3t（t-6），
所以函数y在（0，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减，
所以当t=6时y最大，V也最大，此时$h=\sqrt{3-\frac{1}{3}×6}=1$，
故选C．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查导数知识的运用，确定三棱锥体积的表达式是关键．