Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列，当n≥5时，a_n＞0．
（1）求证：当n≥5时 {a_n}成等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥5时，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（an2+2an-an-12-2an-1），从而an2-an-12=2a_n+2a_n-1，进而a_n-a_n-1=2，由此能证明当n≥5时，{a_n}成等差数列．
（2）由已知推导出a₁=3，a₂=-3，a₃=3，a₄=-3，a₅=3，当n≥5时，a_n=3+（n-5）×2=2n-7，从而当1≤n≤5时，S_n=3×

1-(-1)n

1-(-1)

=

3

2

[1-(-1)n]．当n＞5时，S_n=3+2×

n(n+1)

2

-7（n-5）-2×

5(5+1)

2

=n²-6n+5．

解答： （1）证明：当n≥5时，S_n=

1

4

（a_n²+2a_n-3），
a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（an2+2an-an-12-2an-1），
∴an2-an-12=2a_n+2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
∵当n≥5时，a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴当n≥5时 {a_n}成等差数列．
（2）解：∵当n≥5时，a_n＞0，∴a₅＞0，
∵4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列，
∴a₁，a₅同号，∴a₁＞0，
4a1=a12+2a1-3，解得a₁=3或a₁=-1（舍），
3+a₂=S₂=

1

4

(a22+2a2-3)，
解得a₂=5或a₂=-3，
当a₂=5时，同理，得a₃=-5或a₃=7，
由a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列，
得a₃=

a22

a1

=

25

3

，矛盾，故a₂≠5，
当a₂=-3时，得a₃=3，或a₃=-1，
由a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列，
得a₃=

a22

a1

=

9

3

=3，
综上，a₁=3，a₂=-3，a₃=3，a₄=-3，a₅=3，
由（1）知当n≥5时，{a_n}成首项为3公差为2的等差数列，
即a_n=3+（n-5）×2=2n-7，
∴a_n=

3•(-1)n-1，(1≤n≤5) 2n-7，n＞5

．
∴当1≤n≤5时，S_n=3×

1-(-1)n

1-(-1)

=

3

2

[1-(-1)n]．
当n＞5时，S_n=3+2×

n(n+1)

2

-7（n-5）-2×

5(5+1)

2

=n²-6n+5．
∴S_n=

3 2 [1-(-1)n]，n≤5 n2-6n+5，n≥6

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是难题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．