Question

已知二次函数y=f（x）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据图象设y=f（x）=ax（x-6），利用顶点（3，9）代入即可求解．
（2），根据图象得出函数在（3，+∞）上单调递减，（-∞，3）单调递增．分类讨论：判断出：
当t＞3时，f（x）_大=f（t）=-t²+6t，当t+2＜3，即t＜1时，f（x）_大=f（t+2）=-（t+2）²+6（t+2）=-t²+2t+8，当1≤t≤3时，f（3）=9，求解即可．

解答： 解：（1）y=f（x）=ax（x-6），
∵f（3）=9，
∴3a（3-6）=9，
a=-1，
∴f（x）=-x²+6x，
（2）x∈[t，t+2]，根据图象得出函数在（3，+∞）上单调递减，（-∞，3）单调递增．
当t＞3时，f（x）_大=f（t）=-t²+6t，
当t+2＜3，即t＜1时，f（x）_大=f（t+2）=-（t+2）²+6（t+2）=-t²+2t+8，
当1≤t≤3时，3∈[t，t+2]，f（x）_大=f（3）=9，
∴f（x）_大=

-t2+6t，t＞3 -t2+2t+8，t＜1 9，1≤t≤3

．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，运用分类讨论的思想求解函数的最值问题，属于中档题．