Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）记b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，从而能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由S_n=3ⁿ+（a-3）•2^n-1，n∈N^*，得a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1+（a-3）•2^n-2，从而a_n+1-a_n=2n-2[12•(

3

2

)n-2+a-3]，当n≥2时，a_n+1≥a_n，等价于12•(

3

2

)n-2+a-3≥0，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，
又S₁-3=a-3，
∴{Sn-3n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，
∴所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）•2^n-1，n∈N^*．
（2）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）•2^n-1，n∈N^*，
于是，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2
=2×3^n-1+（a-3）•2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）•2^n-2
=2n-2[12•(

3

2

)n-2+a-3]，
当n≥2时，a_n+1≥a_n，等价于12•(

3

2

)n-2+a-3≥0，
解得a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁，
∴a的取值范围是[-9，+∞）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．