Question

15．已知函数f（x）=x³+x．
（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性，（不用证明结论）．
（2）若f（cosθ-m）+f（msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断．
（2）利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+x在（-∞，+∞）上为增函数，且为奇函数．
（2）由f（cosθ-m）+f（msinθ-2）＜0得f（cosθ-m）＜-f（msinθ-2），
∵f（x）为奇函数，∴不等式等价为f（cosθ-m）＜f（2-msinθ），
∵f（x）为增函数，∴不等式等价为f（cosθ-m）＜f（2-msinθ）等价为cosθ-m＜2-msinθ，
即cosθ-2＜m（1-sinθ），
当sinθ=1，则不等式等价为即cosθ-2＜0，即即cosθ＜2成立，
当sinθ＜1，则不等式等价为m＞$\frac{cosθ-2}{1-sinθ}$，
设t=$\frac{cosθ-2}{1-sinθ}$，
则tsinθ+cosθ=t+2，
则sin（θ+t）=$\frac{t+2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，
∵|sin（θ+t）|=|$\frac{t+2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$|≤1，
∴t≤-$\frac{3}{4}$
则实数m的取值范围为m＞-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参数分离法以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．