Question

【题目】在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．

（1）求证：平面平面PAD；

（2）求二面角F-AE-P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明，然后可证明平面PAD，从而得证面面垂直；

（2）过点A作AD的垂线交BC于点M．以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求得二面角．

（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

又因为，，平面PAD，所以平面PAD．

又平面PCD，所以平面平面PAD．

（2）过点A作AD的垂线交BC于点M．因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，．建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．因为E为PD的中点，所以．

所以，，，所以，

所以．设平面AEF的法向量为，则

，令，则，．于是．

又因为平面PAD的一个法向量为，所以．

由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．