Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过点的直线，分别交椭圆于，及，四点，且，探究：是否存在常数，使得.

Answer 1

【答案】（1）（2），使得恒成立.

【解析】

（Ⅰ）根据点到直线的距离公式得到，再由a,b,c的关系可得到每一个参数值；（Ⅱ）（ⅰ）当与其中一条直线的斜率不存在时，易知，其中一个为长轴，另一个为通径，可代入验证，求得参数值；（ⅱ）当与斜率存在且不为零时，设的方程为，则的方程，分别联立两直线和椭圆方程，结合弦长公式和韦达定理得到参数值.

（Ⅰ）设所求椭圆的方程为，

由点到直线的距离为，故，

又，所以，

故所求椭圆的方程为；

（Ⅱ） 假设存在常数，使得恒成立，则，

（ⅰ）当与其中一条直线的斜率不存在时，易知，其中一个为长轴，另一个为通径，长轴长为，通径为，

此时，

（ⅱ）当与斜率存在且不为零时，不妨设的方程为，

则的方程，联立方程，消去可得

，设，，

则 ，所以

，

将代入，化简可得，

在的表达式中用“”代“”可得，

所以 .

综合（ⅰ）（ⅱ）可知存在常数，使得恒成立.