Question

【题目】设是正整数.在一个十进制位数的各位数字中，若含有数字8，则在每个数字8的前一位数字就不能是数字3（即不能出现38字样）.试求出所有这样的位数的个数.

Answer 1

【答案】

【解析】

考虑满足条件的位数的个数，分以下两种情形.

（1）当个位数字不是8时，前位数有种取法，个位数字有9种取法，从而，该位数有种取法.

（2）当个位数字是8时，可分成如下三类：

8 8 … 8 8（各位数字全是8），

个

… 非3亦非8 8 8 … 8 8

第位

位 个

非3亦非8 8 8 … 8 8.

第位 个

由此可知，个位数字为8的位允许的正整数的个数是

由（1）和（2）得

. ①

由式①得

. ②

由②-①得

，

即. ③

易知.

由式③知，

其中，为待定常数，则

解得.

故.

这就是符合题意的位正整数的个数.