Question

9．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l₁：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过右焦点F作直线l₂与直线l₁交与点Q，且$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{FQ}$=0．求证：点Q在定直线上，并求出定直线方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出b，即可得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程，消去y，利用判别式求出m，k的关系，求出P的坐标，求出直线的斜率，得到直线方程，求解交点坐标即可．

解答 解：（1）由椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$，长轴长为4可知a=2，c=1，
所以b²=3，∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得方程（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0（*）…（6分）
由直线与椭圆相切，得m≠0，且△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0整理得；4k²-m²+3=0，将4k²+3=m²代入（*）式，得m²x²+8kmx+16k²=0，
即（mx+4k）²=0，解得$x=-\frac{4k}{m}$，∴$P（{-\frac{4k}{m}，\frac{3}{m}}）$，…（8分）
又F（1，0），①当4k+m=0即m=-4k，∴Q（4，0）②，
②当4k+m≠0时，∴${k_{PF}}=\frac{{\frac{3}{m}}}{{-\frac{4k}{m}-1}}=-\frac{3}{4k+m}$，则${k_{QF}}=\frac{4k+m}{3}$，…（9分）
∴直线FQ方程为$y=\frac{4k+m}{3}（{x-1}）$，
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{4k+m}{3}（{x-1}）}\end{array}}\right.$，得x=4，
∴点Q在定直线x=4上…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．