Question

9．在数列{a_n}中，a₁=1，点$（\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$在函数f（x）=x+3的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过将点代入函数方程f（x）=x+3，变形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，即可得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，3为公差的等差数列，问题得以解决，
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{a_n}$=（-1）ⁿ（3n-2），得到S_n=-1+4-7+10+…+（-1）ⁿ（3n-2），分n为偶数或n为奇数求出和．

解答 解：（1）∵点$（\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$在函数f（x）=x+3的图象上，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
又a₁=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{1}{a_n}$=（-1）ⁿ（3n-2），
∴S_n=-1+4-7+10+…+（-1）ⁿ（3n-2），
当n为偶数时，S_n=（-1+4）+（-7+10）+…+（-1）ⁿ（3n-2）=3•$\frac{n}{2}$=$\frac{3n}{2}$，
当n为奇数时，S_n=-1+（4-7）+（10-13）+…+（-1）ⁿ（3n-2）=-1-3$•\frac{n-1}{2}$=$\frac{1-3n}{2}$
综上所述S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3n}{2}，n为偶数}\\{\frac{1-3n}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$

点评 本题考查等差数列的判定及求数列的和，对表达式的灵活变形及并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．