题目内容
定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，已知f（x）的导函数f（x）′的图象如图所示，若两个正数a、b满足f（2a+b）＜1，则| a+2b+3 |
| a+1 |
A、（
| ||||
B、（-∞，
| ||||
C、（
| ||||
| D、（-∞，3） |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：数形结合法
分析：由已知导函数的图象，判断出函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合已知条件，得出a，b满足的条件，画出可行域，而
变形后，表示的是斜率．
| a+2b+3 |
| a+1 |
解答：
解：由f（x）′的图象知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（2a+b）＜1且f（4）=1⇒2a+b＜4，
∴a，b 满足
画出可行域△0AB内部，如图所示：
=1+2×
，∵
表示可行域△OAB内部的点与点P（-1，-1）的斜率，
∴KPA＜
＜KPB，又KPA=
=
，KPB=
=5，
∴
＜1+2×
＜11．
故选：C．
解：由f（x）′的图象知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，又∵f（2a+b）＜1且f（4）=1⇒2a+b＜4，
∴a，b 满足
|
| a+2b+3 |
| a+1 |
| b+1 |
| a+1 |
| b+1 |
| a+1 |
∴KPA＜
| b+1 |
| a+1 |
| 0+1 |
| 2+1 |
| 1 |
| 3 |
| 4+1 |
| 0+1 |
∴
| 5 |
| 3 |
| b+1 |
| a+1 |
故选：C．
点评：本题考查的了，函数的单调性，线性规划，数形结合．属于常规题，中等难度．
练习册系列答案
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| 5 |
| 4 |
A、
| ||
B、
| ||
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| D、4 |