平面直角坐标系xOy中.椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.抛物线E:x2=4y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程,(2)设与坐标轴不重合的动直线l与C交于不同的两点A和B.与x轴交于点M.且$P$满足kPA+kPB=2kPM.试判断点M是否为定点?若是定点求出点M的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
抛物线E：x²=4y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不重合的动直线l与C交于不同的两点A和B，与x轴交于点M，且$P（\frac{1}{2}，2）$满足k_PA+k_PB=2k_PM，试判断点M是否为定点？若是定点求出点M的坐标；若不是定点请说明理由．

分析（1）由已知得b=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²=1+c²，得a，即可得到所求椭圆方程；
（2）设直线l：x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（t，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，
△=16m²-16t²+64＞0，${y}_{1}{+y}_{2}=\frac{-2mt}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$，
由k_PA+k_PB=2k_PM，得$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}+\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-\frac{1}{2}}=2×\frac{2}{\frac{1}{2}-t}$⇒$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{1-2t}$．
当t=8时，上式恒成立，

解答解：（1）由抛物线E：x²=4y，得F（0，1），即b=1，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²=1+c²，
解得：a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l：x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（t，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，
△=16m²-16t²+64＞0
${y}_{1}{+y}_{2}=\frac{-2mt}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=m（{y}_{1}+{y}_{2}）+2t=\frac{-2{m}^{2}t}{{m}^{2}+4}+2t$=$\frac{8t}{{m}^{2}+4}$，x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=$\frac{4{t}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$
y₁x₂+y₂x₁=2my₁y₂+t（y₁+y₂）=$\frac{-8m}{{m}^{2}+4}$
由k_PA+k_PB=2k_PM，得$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}+\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-\frac{1}{2}}=2×\frac{2}{\frac{1}{2}-t}$⇒
$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{1-2t}$．
⇒2t²+（4m-17）t-32m+8=0⇒2t²-17t+8+m（4t-32）=0
当t=8时，2t²-17t+8+m（4t-32）=0恒成立，
故M为定点（8，0）．

点评本题考查了抛物线与椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，考查了定点问题，属于中档题，

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