Question

10．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给
出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；       
（2）若a∥α且a⊥β，则α∥β
（3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β
（4）若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β
上面命题中，所有真命题的序号是（3）（4）．

Answer 1

分析 在（1）中，a与b相交、平行或异面； 在（2）中，α与β相交；在（3）中，如教室墙角，一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；在（4）中，若α⊥β，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面ABCD⊥面ADD₁A₁，则一定存在直线BB₁，使得BB₁⊥面ABCD，BB₁∥面ADD₁A₁．

解答 解：由a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，知：
在（1）中，若a∥α且b∥α，则a与b相交、平行或异面，故（1）错误；
在（2）中，若a∥α且a⊥β，则α与β相交，故（2）错误；
在（3）若α⊥β，如教室墙角，一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β，故（3）正确；
在（4）中，若α⊥β，如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
面ABCD⊥面ADD₁A₁，则一定存在直线BB₁，使得BB₁⊥面ABCD，BB₁∥面ADD₁A₁，故（4）正确．
故答案为：（3）（4）．

点评 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．