Question

14．已知数列{a_n}满足a_n+a_n+1=（-1）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$n，S_n是其前n项和，若S₂₀₁₅=-1007-b，且a₁b＞0，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知递推式得到a₂+a₃=-2，a₄+a₅=4，…，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=-2014，累加可求S₂₀₁₅，结合S₂₀₁₅=-1007-b求得a₁+b=1，代入$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{b}$展开后利用基本不等式求最值．

解答 解：由已知得：a₂+a₃=-2，a₄+a₅=4，…，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=-2014，
把以上各式相加得：S₂₀₁₅-a₁=-2014+1006=-1008，
∴S₂₀₁₅=a₁-1008=-1007-b，即a₁+b=1，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{b}=\frac{{{a_1}+b}}{a_1}+\frac{{2（{a_1}+b）}}{b}$=$3+\frac{b}{a_1}+\frac{{2{a_1}}}{b}≥3+2\sqrt{2}$．
故答案为：$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的和，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．