Question

6．有四个关于三角函数的命题：
p₁：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；
p₂：?x∈R，sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1；
p₃：x，y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy；
p₄：?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，$\sqrt{\frac{1+cos2x}{2}}$=cosx．
其中真命题是（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₂，p₃
• C． p₁，p₄
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 根据三角函数的定义及周期性，可判断p₁；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p₂；根据两角差的余弦公式，可判断p₃；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p₄．

解答 解：p₁：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；
p₂：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：?x∈R，sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1，故正确；
p₃：x，y∈R，cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx-cosy不一定相等，故错误；
p₄：?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，$\sqrt{\frac{1+cos2x}{2}}$=$\sqrt{{cos}^{2}x}$=|cosx|=cosx，故正确．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题．