Question

19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，$AB=1，AD=\sqrt{3}$，AB⊥BC，CD⊥BD，如图（1）把△ABD沿BD翻折，使得平面A'BD⊥平面BCD，如图（2）．则三棱锥A'-BDC的体积为$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 过A'做A'E⊥BD，垂足为E，则可证A'E⊥平面BDC，利用勾股定理和三角形相似求出A'E，BD，CD的值，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：过A'做A'E⊥BD，垂足为E，
∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，A'E?平面A'BD，
∴A′E⊥平面BCD，
∵在直角梯形ABCD中，$AB=1，AD=\sqrt{3}$，∴BD=2，
∴AE=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BD⊥CD，∴tan∠DBC=tan∠ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{BD}$，∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴V_A′-BDC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．