Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．
（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$及cos∠BAC的余弦值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AP}$+$μ\overrightarrow{BQ}$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中AB=2，AD=1，∠BAD=60°，代入向量数量积公式，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，求出|$\overrightarrow{AC}$|，代入cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|•\left|\overrightarrow{AC}\right|}$可得cos∠BAC的余弦值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AP}$+$μ\overrightarrow{BQ}$，则$\left\{\begin{array}{l}λ-\frac{1}{2}μ=1\\ \frac{1}{2}λ+μ=1\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=2²+2×1×cos60°=5，
|$\overrightarrow{AC}$|²=$\overrightarrow{AC}$²=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）²=$\overrightarrow{AB}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AD}$²=2²+2×2×1×cos60°+1=7，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{7}$，
cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|•\left|\overrightarrow{AC}\right|}$=$\frac{5}{2•\sqrt{7}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$；
（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BQ}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AP}$+$μ\overrightarrow{BQ}$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）+μ（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}λ-\frac{1}{2}μ=1\\ \frac{1}{2}λ+μ=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{6}{5}\\ μ=\frac{2}{5}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=$\frac{8}{5}$

点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的数量积，向量的夹角，向量的模，难度中档．