Question

14．某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物（PM2.5）转化为一种可利用的化工产品．已知该企业处理成本P（x）（亿元）与处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}，0≤x≤10}\\{x+\frac{4}{x}-\frac{33}{20}，x＞10}\end{array}\right.$另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元．
（1）当0≤x≤10时，若计划在A国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？
（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？
附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=$\frac{投入总成本}{处理量}$．

Answer 1

分析 （1）当0≤x≤10时，Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$，依题意：Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$≤5，即可求出该工艺处理量x的取值范围；
（2）分类求最值，即可得出结论．

解答 解：（1）设该企业计划在A国投入的总成本为Q（x）（亿元），
则当0≤x≤10时，Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$，
依题意：Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$≤5，
即x²+4x-60≤0，解得-10≤x≤6，
结合条件0≤x≤10，∴0≤x≤6…（3分）
（2）依题意，该企业计划在A国投入的总成本当0≤x≤10时，Q（x）=$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$，
当x＞10时，Q（x）=x+$\frac{4}{x}$-$\frac{2}{5}$，
则平均处理成本①当0≤x≤10时，$\frac{Q（x）}{x}$=$\frac{x}{16}+\frac{5}{4x}$+$\frac{1}{4}$≥$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，当且仅当$\frac{x}{16}=\frac{5}{4x}$，
即x=2$\sqrt{5}$时，$\frac{Q（x）}{x}$的最小值为$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，…（7分）
②当x＞10时，$\frac{Q（x）}{x}$═4（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{20}$）²+$\frac{99}{100}$，
∴当$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{20}$，即x=20时，$\frac{Q（x）}{x}$的最小值为$\frac{99}{100}$＞$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
∴当x=2$\sqrt{5}$时，$\frac{Q（x）}{x}$的最小值为$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，…（11分）
答：（Ⅰ）该工艺处理量x的取值范围是0≤x≤6．
（Ⅱ）该企业处理量为22$\sqrt{5}$万吨时，才能使每万吨的平均处理成本最低，平均处理成本最低为$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$亿元…（12分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查二次函数的性质，属于中档题．