Question

14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x^a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x²）-f（-x²+x-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数的解析式；
（2）不等式f（x²）-f（-x²+x-1）＞0可化为：|x²|＞|-x²+x-1|，即x²＞x²-x+1，解得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）的图象经过点（4，2）．
∴4^a=2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
故当x≥0时，f（x）=$\sqrt{x}$，
当x＜0时，-x＞0，
由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（-x）=$\sqrt{-x}$，
综上可得：f（x）=$\sqrt{\left|x\right|}$
（2）若f（x²）-f（-x²+x-1）＞0，
则f（x²）＞f（-x²+x-1），
则|x²|＞|-x²+x-1|，
即x²＞x²-x+1，
解得：x＞1

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．