Question

8．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．
（Ⅰ）求证：GH⊥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接FH，推导出CD⊥平面BCFG，从而CD⊥GH，进而EF⊥GH．由勾股定理得GH⊥FG，由此能证明GH⊥平面EFG．
（Ⅱ）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-FG-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接FH，由题意知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．
又∵GH?平面BCFG，∴CD⊥GH．
又∵EF∥CD，∴EF⊥GH．
设AB=a，则$BH=\frac{1}{4}a，BG=\frac{1}{2}a$，
∴$G{H^2}=B{G^2}+B{H^2}=\frac{5}{16}{a^2}$，$F{G^2}={（CF-BG）^2}+B{C^2}=\frac{5}{4}{a^2}，F{H^2}=C{F^2}+C{H^2}=\frac{25}{16}{a^2}$，
则FH²=FG²+GH²，∴GH⊥FG．
又∵EF∩FG=F，∴GH⊥平面EFG．
解：（Ⅱ）∵CF⊥平面ABCD，AD⊥DC，
∴以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=4，则D（0，0，0），E（0，0，4），F（0，4，4），G（4，4，2），H（3，4，0），
∴$\overrightarrow{DF}=（0，4，4），\overrightarrow{EF}=（0，4，0），\overrightarrow{FG}=（4，0，-2）$．
设$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$为平面DFG的法向量，x₁=1
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FG}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{4{y_1}+4{z_1}=0}\\{4{x_1}-2{z_1}=0}\end{array}}\right.$取，则$\overrightarrow{n_1}=（1，-2，2）$．
设$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$为平面EFG的法向量，
由（Ⅰ）知GH⊥平面EFG，则可取$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{HG}=（1，0，2）$．
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{5}{{3×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴二面角D-FG-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．