Question

13．已知函数f（x）=3-2|x|，g（x）=x²-2x，构造函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），当f（x）≥g（x）时}\\{f（x），当f（x）＜g（x）时}\end{array}\right.$，那么F（x）（　　）

• A． 有最大值3，最小值-1
• B． 有最大值 $2-\sqrt{7}$，无最小值
• C． 有最大值 $7-2\sqrt{7}$，无最小值
• D． 无最大值，也无最小值

Answer 1

分析 在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．

解答 解：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，
当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x），表示f（x）的图象在g（x）的图象下方就去f（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）有最大值，无最小值
当x＜0时，由$\left\{\begin{array}{l}{f（x）=3+2x}\\{g（x）={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$得x=2+$\sqrt{7}$（舍）或x=2-$\sqrt{7}$
此时F（x）的最大值为：7-2$\sqrt{7}$，
故选：C．

点评 此题考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂F（x）是什么．先画出f（x）及g（x）与F（x）的图象．再比较f（x）与g（x）的大小，然后确定F（x）的图象．这是一道创新性较强的试题，属中档题．