Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求函数f（x）单调增区间；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简三角函数解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+a，然后利用三角函数的性质求周期和最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）单调增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=2+a+1，f（x）_min=-1+a+1=a，
∵2+a+1+a=3，
∴可解得a=0．

点评：本题考查了三角函数的化简以及性质的运用；首先要利用三角函数的公式化简解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用其性质求周期及最值等，属于中档题．