Question

设函数f（x）=x³-

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x²+6x-a．
（Ⅰ）对于任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，求证：|f′（x₁）-f′（x₂）|≤12；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,导数的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），则对任意x∈[-1，0]，f′_max（x）=f′（-1）=18，f′_min（x）=f′（0）=6，从而证明；
（Ⅱ）由导数判断函数的单调性及极值，从而解方程f（x）=0有且仅有三个实根时a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）；
对任意x∈[-1，0]，
f′_max（x）=f′（-1）=18，
f′_min（x）=f′（0）=6，
则对于任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，
|f′（x₁）-f′（x₂）|≤|f′_max（x）-f′_min（x）|=12；
（Ⅱ）∵当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
当x＞2时，f′（x）＞0；
故当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=

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-a；
当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2-a；
故当f（2）＜0，f（1）＞0时，方程f（x）=0有且仅有三个实根，
故2＜a＜

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2

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了方程的根与函数的关系，属于基础题．