Question

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g（x）=cos²（x+

π

12

）．
（1）设（x₀，1）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，求g（x₀）的值；
（2）求使函数h（x）=f（

ωx

2

）+g（

ωx

2

）（ω＞0）在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数的ω的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据二倍角公式化简函数f（x）结合正弦函数的对称中心，得到方程，再代入函数g（x）即可得到结论；
（2）先根据诱导公式以及辅助角公式求出函数h（x）的表达式，再结合余弦函数的单调区间即可得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
由（x₀，1）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，则2x₀=kπ，k∈Z，
则g（x₀）=

1+cos(kπ+ π 6 )

2

=

1+cos π 6

2

（k为偶数）或

1-cos π 6

2

（k为奇数），
即有g（x₀）=

2± 3

4

；
（2）（2）因为：h（x）=f（

ωx

2

）+g（

ωx

2

）
=1+

1

2

sinωx+

1+cos(ωx+ π 6 )

2

=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

cos（ωx+

π

6

）
=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

（

3

2

×cosωx-

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

cos（ωx-

π

6

）．
当x∈[-

2π

3

，

π

3

]时，ωx-

π

6

∈[-

2ωπ

3

-

π

6

，

ωπ

3

-

π

6

]．
因为函数在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数，
所以须有-

2ωπ

3

-

π

6

≥-π且

ωπ

3

-

π

6

≤0；
解得：ω≤

5

4

且ω≤

1

2

．
故ω的最大值为：

1

2

．

点评：本题主要考查三角公式的应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．