Question

已知奇函数 f（x）的定义域为实数集 R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤

π

2

时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对所有的θ∈[0，

π

2

]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,存在型,函数的性质及应用

分析：根据f（x）为奇函数，可得到函数f（x）在R上的单调性，且f（0）=0，原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0，
所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）=f（2mcosθ-4m），
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：
当t∈[0，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[0，1]，得m＞

2-t2

2-t

=t-2+

2

t-2

+4，t∈[0，1]时，
令h（t）=（2-t）+

2

2-t

，即当且仅当t=2-

2

时，h（t）取得最小值2

2

，
故m＞（t-2+

2

t-2

+4）_max=4-2

2

．
即存在这样的m，且m∈（4-2

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．