Question

已知函数f（x）=a（2cos²x+sin2x）+b（a＞0）
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若x∈[0，

π

4

]时，f（x）的值域是[1，

2

]，求实数a、b的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）偶遇条件利用辅助角公式可得f（x）=

2

acos(2x-

π

4

)+a+b，再根据函数y=Acos（ωx+φ）的周期为

2π

ω

，可得结论．
（2）由x∈[0，

π

4

]时，利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）∈[2a+b，

2

a+a+b]．再根据已知f（x）的值域是[1，

2

]，求得实数a、b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=a（cos2x+sin2x+1）+b=

2

acos(2x-

π

4

)+a+b，∴T=

2π

2

=π．
（2）当x∈[0，

π

4

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，cos（2x-

π

4

）∈[

2

2

，1]，

2

acos（2x-

π

4

）∈[a，

2

a]，

2

acos(2x-

π

4

)+a+b∈[2a+b，

2

a+a+b]．
再根据f（x）的值域是[1，

2

]，可得2a+b=1，

2

a+a+b=

2

，
解得 a=1，b=-1．

点评：本题主要考查辅助角公式，函数y=Acos（ωx+φ）的周期为

2π

ω

，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．