题目内容
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知$\overrightarrow m=（{sinC，{b^2}-{a^2}-{c^2}}），\overrightarrow n=（{2sinA-sinC，{c^2}-{a^2}-{b^2}}）$且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$；（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围．
分析 （1）由已知利用向量共线的性质，余弦定理，正弦定理可得$\frac{sinC}{2sinA-sinC}$=$\frac{sinCcosB}{sinBcosC}$，利用sinC≠0，sinA≠0，结合三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理可求$cosB=\frac{1}{2}$，结合B的范围即可得解B的值．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得T=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{2}$cos（2A+$\frac{π}{3}$），由范围$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，利用余弦函数的性质即可得解T的取值范围．
解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为：$\overrightarrow m=（{sinC，{b^2}-{a^2}-{c^2}}），\overrightarrow n=（{2sinA-sinC，{c^2}-{a^2}-{b^2}}）$且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$；
所以：$\frac{sinC}{2sinA-sinC}=\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{{{c^2}-{a^2}-{b^2}}}=\frac{-2accosB}{-2abcosC}=\frac{{c{cosB}}}{bcosC}=\frac{sinCcosB}{sinBcosC}$，…（1分）
因为：sinC≠0，
所以：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，…（2分）
所以：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，…（4分）
因为：sinA≠0，
所以：$cosB=\frac{1}{2}$，
因为：0＜B＜π，
所以：$B=\frac{π}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）因为：$T={sin^2}A+{sin^2}B+{sin^2}C=\frac{1}{2}（1-cos2A）+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}（1-cos2C）$…（7分）
=$\frac{7}{4}-\frac{1}{2}（cos2A+cos2C）=\frac{7}{4}-\frac{1}{2}[{cos2A+cos（{\frac{4π}{3}-2A}）}]$…（8分）
=$\frac{7}{4}-\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}cos2A-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A}）=\frac{7}{4}-\frac{1}{2}cos（{2A+\frac{π}{3}}）$…（9分）
因为：$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
所以：$0＜2A＜\frac{4π}{3}$，
故：$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，…（10分）
因此：-1≤cos（2A+$\frac{π}{3}$）$＜\frac{1}{2}$，
所以：$\frac{3}{2}$＜T≤$\frac{9}{4}$．…（12分）
点评 本题主要考查了向量共线的性质，余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
阳光考场单元测试卷系列答案
名校联盟冲刺卷系列答案
名校提分一卷通系列答案
一个多面体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为88cm2；体积为48cm3．| A． | 8$\sqrt{3}$ | B． | 24 | C． | 16$\sqrt{3}$ | D． | 24$\sqrt{3}$ |
| A． | （-∞，2） | B． | （-∞，2] | C． | （2，+∞） | D． | [2，+∞） |
如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4，CE=2$\sqrt{3}$，则AD=（ ）
| A． | 中空的长方体，体积为72cm3 | B． | 中空的长方体，体积为66cm3 | ||
| C． | 实心长方体，体积为72cm3 | D． | 实心圆柱体，体积为66cm3 |