Question

设数列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅满足性质P：a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=0，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=1．
（Ⅰ）（ⅰ） 若a₁，a₂，…，a₂₀₁₅是等差数列，求a_n；
（ⅱ）是否存在具有性质P的等比数列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅？
（Ⅱ）求证：a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

2015

a2015≤

1007

2015

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ） （ⅰ）由题意得2015a1+

2015×2014d

2

=0，从而a₁₀₀₈=0，由此结合已知条件能求出a_n；
（ⅱ）当q=1时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=|a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅|=0．当q≠1时，a1+a2+a3+…+a2015=

a1(1-q1005)

1-q

≠0．由此能求出不存在满足性质P的等比数列．
（Ⅱ）由条件知，必有ai＞0，也必有aj＜0 （i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ），由条件得a_i1+a_i2+…+a_il=

1

2

，a_j1+a_j2+…+a_jm=-

1

2

．由此能证明a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

2015

a2015≤

1007

2015

．

解答： （Ⅰ） （ⅰ）解：设等差数列a1，a2，…，a2015的公差为d，则a1+a2+…+a2015=2015a1+

2015×2014d

2

．
由题意得2015a1+

2015×2014d

2

=0，
所以a₁+1007d=0，即a₁₀₀₈=0．
当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=0与性质P矛盾；
当d＞0时，由a1+a2+…+a2015=-

1

2

，a₁₀₀₈=0，
得d=

1

1007×1008

，a1=-

1

1008

．
所以an=-

1

1008

+

n-1

1007×1008

=

n-1008

1007×1008

(n=1，2，…，2015)．
当d＜0时，由a1+a2+…+a1007=

1

2

，a₁₀₀₈=0，
得d=-

1

1007×1008

，a1=

1

1008

．
所以an=

1

1008

+

-n+1

1007×1008

=

1008-n

1007×1008

(n=1，2，…，2015)．
综上所述，an=

n-1008

1007×1008

或an=

1008-n

1007×1008

(n=1，2，…，2015)．
（ⅱ）解：设a1，a2，…，a2015是公比为q的等比数列，
则当q=1时，a₁=a₂=…=a₂₀₁₅，则|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=|a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅|=0，
与性质P矛盾．
当q≠1时a1+a2+a3+…+a2015=

a1(1-q1005)

1-q

≠0．
与性质P矛盾．
因此不存在满足性质P的等比数列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅．
（Ⅱ）证明：由条件知，必有ai＞0，也必有aj＜0 （i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ）．
设ai1，ai2，…，ail为所有ai中大于0的数，aj1，aj2，…，ajm为所有ai中小于0的数．
由条件得a_i1+a_i2+…+a_il=

1

2

，a_j1+a_j2+…+a_jm=-

1

2

．
所以a1+

1

2

a2+…+

1

n

an=(

ai1

i1

+

ai2

i2

+…+

ail

il

)+(

aj1

j1

+

aj2

j2

+…+

ajm

jm

)≤(ai1+ai2+…+ail)+

1

2015

(aj1+aj2+…+ajm)=

1

2

-

1

3010

=

1007

2015

．
∴a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

2015

a2015≤

1007

2015

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查是否存在具有性质P的等比数列的判断与求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．