Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=（2+cosnπ）（a_n+1）-3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}，n=2k（{k∈{N^*}}）\\{a_n}，n=2k-1（{k∈{N^*}}）\end{array}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+2=（2+cosnπ）（a_n+1）-3，n∈N^*．当n=2k-1时，a_n+2=a_n-2，∴{a_2k-1}是等差数列，首项为1，公差为-2．当n=2k时，a_n+2=3a_n，可得{a_2k}是等比数列，首项为3，公比为3，即可得出．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}，n=2k（{k∈{N^*}}）\\{a_n}，n=2k-1（{k∈{N^*}}）\end{array}$，n=2k（k∈N^*）时，b_n=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$；n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=2-n．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+2=（2+cosnπ）（a_n+1）-3，n∈N^*．
∴当n=2k-1时，a_n+2=a_n-2，∴{a_2k-1}是等差数列，首项为1，公差为-2，
∴a_2k-1=1-2（k-1）=3-2k，即n为奇数时a_n=2-n．
当n=2k时，a_n+2=3a_n，∴{a_2k}是等比数列，首项为3，公比为3，
∴a_2k=3×3^k-1，即n为偶数时a_n=${3}^{\frac{n}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2-n，n为奇数}\\{{3}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}，n=2k（{k∈{N^*}}）\\{a_n}，n=2k-1（{k∈{N^*}}）\end{array}$，
n=2k（k∈N^*）时，b_n=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$；
n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=2-n．
∴n=2k（k∈N^*）时，T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=$\frac{k（1+3-2k）}{2}$+$\frac{1}{4}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k+2}）]$=2k-k²+$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2k+2}）$=2k-k²+$\frac{k}{8k+8}$=$n-\frac{{n}^{2}}{4}$+$\frac{n}{8n+16}$．
n=2k-1（k∈N^*）时，T_n=T_n-1+b_n=$（n-1）-\frac{（n-1）^{2}}{4}$+$\frac{n-1}{8n+24}$+2-n=1-$\frac{（n-1）^{2}}{4}$+$\frac{n-1}{8n+24}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．