Question

10．某高校在举行艺术类高考招生考试时，对100个考生进行了一项专业水平考试，考试成绩满分为100分，成绩出来后，老师对每个成绩段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的人数进行了统计，丙得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并从频率分布直方图中求出这些成绩的中位数；
（2）为了能从分了解考生情况，对考试成绩落在[70，90）内的考生采用分层抽样的方法抽取5名考生．
（i）求在[70，80）与[80，90）内各抽取多少名考生；
（ii）如果从这5名中选出两人进行一段表演，求恰有一名考生来自[80，90）组的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质求出a=0.008，由频率分布直方图得[40，70）的频率为0.32，[70，80）的频率为0.36，由此能求出这些成绩的中位数．
（2）（i）由频率分布直方图得[70，80）的频率为0.36，[80，90）的频率为0.24，对考试成绩落在[70，90）内的考生采用分层抽样的方法抽取5名考生，能求出在[70，80）与[80，90）内各抽取多少名考生．
（ii）从这5名中选出两人进行一段表演，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，恰有一名考生来自[80，90）组包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，由此能求出恰有一名考生来自[80，90）组的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图的性质得：
（0.004+2a+0.02+0.024+0.036）×10=1，
解得a=0.008，
由频率分布直方图得[40，70）的频率为（0.004+0.008+0.02）×10=0.32，
[70，80）的频率为0.036×10=0.36，
∴这些成绩的中位数为：70+$\frac{0.5-0.32}{0.36}×10$=75．
（2）（i）由频率分布直方图得[70，80）的频率为：0.036×10=0.36，
[80，90）的频率为：0.024×10=0.24，
对考试成绩落在[70，90）内的考生采用分层抽样的方法抽取5名考生，
则在[70，80）内应抽取：5×$\frac{0.36}{0.36+0.24}$=3人，
在[80，90）内应抽取：5×$\frac{0.24}{0.36+0.24}$=2人．
（ii）从这5名中选出两人进行一段表演，
基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
恰有一名考生来自[80，90）组包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，
恰有一名考生来自[80，90）组的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分直方图的性质、分层抽样、等可能事件概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．