题目内容
4．《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②．逐节多三分③，逐圈少分三④．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（ ）| A． | 72.705尺 | B． | 61.395尺 | C． | 61.905尺 | D． | 73.995尺 |
分析 设从地面往长，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，则{an}是以a1=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，…，b30，则{bn}是以b1=1.3为首项，d=-0.013为公差的等差数列，由此能求出一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶的行程．
解答 解：∵每竹节间的长相差0.03尺，
设从地面往长，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，
∴{an}是以a1=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，
由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，
设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，…，b30，
由{bn}是以b1=1.3为首项，d=-0.013为公差的等差数列，
∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是：
S30=（30×0.5+$\frac{30×29}{2}$×0.03）+[30×1.3+$\frac{30×29}{2}$×（-0013）]=61.395．
故选：B．
点评 本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点．
9．
某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况，从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图：
若网购金额超过2千元的顾客称为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客称为“非网购达人”．
（ I）根据频率分布直方图估计网友购物金额的平均值；
（ II）若抽取的“网购达人”中女性占12人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关？
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况，从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图：| 网购达人 | 非网购达人 | 合计 | |
| 男性 | 30 | ||
| 女性 | 12 | 30 | |
| 合计 | 60 |
（ I）根据频率分布直方图估计网友购物金额的平均值；
（ II）若抽取的“网购达人”中女性占12人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关？
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
16．设点M（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，点P（-4a，a）（a＞0），则当$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$最大时，点M为（ ）
| A． | （0，2） | B． | （0，0） | C． | （4，6） | D． | （2，6） |
14．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（-1，$\sqrt{3}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为（ ）
| A． | $\frac{2π}{3}$ | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |