题目内容

4．《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②．逐节多三分③，逐圈少分三④．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（　　）
A．72.705尺B．61.395尺C．61.905尺D．73.995尺

分析 设从地面往长，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，则{an}是以a1=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，…，b30，则{bn}是以b1=1.3为首项，d=-0.013为公差的等差数列，由此能求出一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶的行程．

解答 解：∵每竹节间的长相差0.03尺，
设从地面往长，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，
∴{an}是以a1=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，
由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，
设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，…，b30，
由{bn}是以b1=1.3为首项，d=-0.013为公差的等差数列，
∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是：
S30=（30×0.5+$\frac{30×29}{2}$×0.03）+[30×1.3+$\frac{30×29}{2}$×（-0013）]=61.395．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．4B．3C．2D．1
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A．$\frac{2π}{3}$B．$\frac{π}{2}$C．$\frac{π}{3}$D．$\frac{π}{6}$

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