Question

15．若a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}{a}_{n}+1}$，a₁=1，a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 由原数列递推式变形得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}={2}^{n}$，然后利用累加法求得数列通项公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+{2}^{n}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}={2}^{n}$．
∴$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}={2}^{1}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{2}}={2}^{2}$，
…
$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}={2}^{n-1}$（n≥2）．
累加得：$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）$．
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+2+…+{2}^{n-1}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}={2}^{n}-1$，
即${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$（n≥2）．
验证n=1适合上式，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．