Question

已知函数f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R⁺）
（1）若f（x）是偶函数，求m的值．
（2）设g（x）=

f(x)

x

，x∈[

1

4

，4]，求g（x）的最小值φ（m）．
（3）若φ（m）-

k

4

＞log 

1

3

4	27

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数f（x）的对称轴为x=0，求得m的值．
（2）求得g（x）x+（m-1）+

m

x

，分当m=0时、当m＜0时、当m＞0时三种情况，分别求得g（x）的最小值φ（m）的解析式，综合可得，g（x）的最小值φ（m）的解析式．
（3）由题意可得 φ（m）＞

k-3

4

恒成立，再根据φ（m）的最小值为

1

16

，可得

1

16

＞

k-3

4

，由此解得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）若函数f（x）=x²+（m-1）x+m为偶函数，则有

1-m

2

=0，解得m=1．
（2）∵g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，
当m=0时，g（x）=x²，g（x）的最小值φ（m）=g（

1

4

）=

1

16

．
当m＜0时，g（x）在[

1

4

，4]上是增函数，g（x）的最小值φ（m）=g（

1

4

）=

1

16

．
当m＞0时，g（x）在[

m

，+∞）上是增函数，
若

1

2

≤m＜2，g（x）的最小值φ（m）=2m；
若 m＞2，g（x）在[

1

4

，4]上是减函数，g（x）的最小值φ（m）=g（4）=

5m

4

+3；
若0＜m＜

1

2

，g（x）在[

1

4

，4]上是增函数，g（x）的最小值φ（m）=g（

1

4

）=

1

16

．
综上可得，g（x）的最小值φ（m）=

1 16    ，m＜ 1 2 2m   ， 1 2 ≤m＜2 5m 4    ，m＞2

．
（3）若φ（m）-

k

4

＞log 

1

3

4	27

=log

1

3

3

3

4

=-

3

4

恒成立，
∴φ（m）＞

k-3

4

 恒成立．
再根据φ（m）的最小值为

1

16

，∴

1

16

＞

k-3

4

，解得 k＜

13

4

．
即实数k的取值范围为（-∞，

13

4

）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，对数的运算性质，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．