题目内容

已知向量
a
、
b
为非零向量，求证：
a
⊥
b
?|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，并解释其几何意义．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据由
a
⊥
b
，得出|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b2
|
a
-
b
|2=
a
2+
b
2-2
a
•
b
=
a
2+
b2
，即证|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，反之可以逆推得证．
解答： 证明：（1）∵向量
a
、
b
为非零向量，
a
⊥
b
，
∴
a
•
b
=0，
∴|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b2

|
a
-
b
|2=
a
2+
b
2-2
a
•
b
=
a
2+
b2
，
∴|
a
+
b
|2=|
a
-
b
|2，
即|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
（2）∵|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
∴|
a
+
b
|2=|
a
-
b
|2，
即
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b
2-2
a
•
b
，
a
•
b
=0，
∴根据（1）（2）得出：
a
⊥
b
?|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
几何意义：矩形的对角线相等．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，及运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若方程
x2
2-k
+
y2
k-1
=1表示图形分别是①双曲线，②圆，③椭圆，则k的取值范围分别为
 
．
已知平面内M，N，P三点满足
MN
-
PN
+
PM
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B、M，N，P是一个直线上的三个点
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D、以上都不对
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A、1B、2C、3D、4
已知两点F1（-2，0），F2（2，0），动点M在y轴上的射影为N，且满足2•
MF1
•
MF2
=
MN
2
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）A，B是轨迹C上的两点，AB中点S的横坐标为1，求|AB|的最大值，并求此时直线AB的方程．
二项式（a-
1
a
）n的展开式中仅有3项有理项，则n的取值可以是
 
．
数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2都有a1•a2•a3•…•an=n2．
（1）求a3+a5；
（2）
256
225
是此数列中的项吗？如果是，应是第几项？
已知cos（
3π
2
+α）=
3
5
，
π
2
＜α＜π，则cos（α-
π
3
）的值为
 
．
经过双曲线x2-y2=1左焦点F1做倾角为30°的弦AB，求△F2AB的周长．

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